Número de conexões PostgreSQL

Comando:
select datname, count(*) from pg_stat_activity group by datname;

Com este comando podemos ver o número de conexões ativas no momento de execução agrupando-as pelo nome do banco de dados.
A saída será semelhante a isso:

  datname  | count
-----------+-------
 testdb    |     5
 template1 |     1
(2 rows)

A tabela pg_stat_activity também tem outras colunas com outras informações interessantes:

datid - oid do banco de dados
datname - nome do banco de dados
procpid - id do processo
usesysid - OID do usuário
usename - nome do usuário
current_query - query sendo executada atualmente
waiting - status de espera da query
xact_start - horário em que a transação atual começou a executar
query_start - horário em que a query começou a executar
backend_start - horário em que o processo foi iniciado
client_addr - Endereço do cliente
client_port - Porta do cliente

As colunas que mostram informações sobre a query só podem ser vistas pelo super usuário ou se o usuário que estiver vendo as informações for o mesmo do processo que está sendo listado.